BAB I. DIFERENSIASI NUMERIS

BAB I. DIFERENSIASI NUMERIS

BAB I

PENDAHULUAN

A.    TUJUAN

Agar mahasiswa dapat menyelesaikan bentuk persamaan differensial sederhana dengan menggunakan penyelesaian numerik.

B.    DASAR TEORI

Dalam berbagai masalah rekayasa dan aplikasi, dijumpai masalah dalam perhitungan suatu fungsi. Untuk fungsi-funsgsi tertentu dapat menemukan turunannya dalam bentuk tertutup yaitu jika persamaan turunannya dapat dituliskan,misalnya:

Dalam praktekjika tidak ada bentuk tertutup yang dapat ditemukan atau turunan fungsi dalam bentuk tertutup sukar diperoleh maka turunan harus diperoleh melalui deferensiasi numerik.

Turunan atau derivative dalam calculus didefinisikan sebagai:

, bila

Metode Numerik adalah teknik yang digunakan untuk memformulasikan persoalan matematik sehingga dapat dipecahkan dengan operasi hitungan atau aritmatika biasa. Solusi angka yang didapatkan dari metode numerik adalah solusi yang mendekati nilai sebenarnya atau solusi pendekatan dengan tingkat ketelitian yang diinginkan. Karena tidak tepat dengan solusi sebenarnya, terdapat selisih diantara keduanya yang kemudian disebut galat atau error. Metode numerik dapat menyelesaikan persoalan yang sulit diantaranya persamaan non linier.

Tidak semua permasalahan matematis atau perhitungan dapat diselesaikan dengan mudah. Dibutuhkan metode yang menggunakan analisiss pendekatan persoalan-persoalan non-linier untuk menghasilkan nilai yang diharapkan. Kesulitan menggunakan metode analitikuntuk mencari solusi exact dengan jumlah data yang besar, diperlukan perhitungan komputer, metode numerik menjadi penting untuk menyelesaikan permasalahan ini. Pemakaian metode analitik terkadang sulit diterjemahkan ke dalam algoritma yang dapat dimengerti oleh komputer.

Metode numerik yang memanng berangkat dari pemakaian alat bantu hitung merupakan alternatif yang baik dalam menyelesaikan persoalan-persoalan perhitungan yang rumit.

Prinsip-Prinsip Metode Numerik

·       Metode numerik ini disajikan dalam bentuk algoritma-algoritma yang dapat dihitung secara cepat dan mudah.

·       Pendekatan yang digunakan dalam metode numerik merupakan pendekatan analisis matematis, dengan tambahan grafis dan teknik perhitungan yang mudah.

·       Algoritma pada metode numerik adalah algoritma pendekatan maka dalam algoritma tersebut akan muncul istilah iterasi yaitu pengulangan proses perhitungan.

·       Dengan metode pendekatan, tentunya setiap nilai hasil perhitungan akan mempunyai nilai error (nilai kesalahan).

·      Metode analitik metode sebenarnya dapat memberikan solusi sebenarnya (exact solution) yaitu solusi yang memiliki galat atau error = 0.Metode analitik hanya unggul pada sejumlah persoalan matematika yang terbatas.

Secara Matematis:

y = f(x)

y + ∆y = f(x+∆x)

y = f(x)             -

∆y = f(x+∆x)- f(x)  

                     ∆x = 0 maka:

                

Secara Numeris:

Misalnya diketahui : y = f(x)

Dan ingin dicari harga dy/dx pada x = xₒ berdasarkan definisi matematika:

Pada diferensiasi numeris yang sederhana, harga ∆x ⟶0, didekati dengan bilangan kecil ε, sehingga didapatkan:

§  Cara forward

§  Cara backward

§  Cara central

Algoritma:

1.     Menentukan y = f(x)

2.     Menentukan nilai xₒ

3.     Menentukan nilai ε

4.     Menghitung dy/dx dengan cara :       -Cara Forward

-Cara Backward

-Cara Central

Tahap-tahap Memecahkan Persoalan Secara Numerik:

a.      Pemodelan

Ini adalah tahap pertama. Persoalan dunia nyata dimodelkan ke dalam persamaan matematika.

b.     Penyederhanaan Model

Model yang dihasilkan dari tahap 1 yaitu memasukan banyak peubah (variabel) atau parameter. Semakin kompleks model  matematikanya maka semakin sulit penyelesaiannya. Model matematika yang diperoleh dari penyederhanaan menjadi lebih sederhana sehingga solusinya akan lebih mudah diperoleh.

c.      Formulasi Numerik

1.     Menentukan metode numerik yang akan dipakai bersama-sama dengan analisis galat awal (yaitu taksiran galat, penentuan ukuran langkah dan sebagainya).

Pemilihan metode didasarkan pada pertimbangan :

-        Metode tersebut teliti

-        Metode tersebut mudah di program dan waktu pelaksanaan cepat.

-        Metode tersebut tidak peka terhadap perubahan data yang cukup kecil

2.     Menyusun algoritma dari metode numerik yang dipilih. Contoh:

-        Menentukan y = f(x)

-        Menentukan nilai xₒ

-        Menentukan nilai ε

-        Menghitung dy/dx

d.     Pemrograman

Tahap selanjutnya adalah menerjemahkan algoritma ke dalam program komputer dengan menggunakan salah satu bahasa pemrograman yang dikuasai.

e.      Operasional

Program komputer dijalankan dengan data uji coba sebelum data yang sesungguhnya.

f.      Evaluasi

Bila program sudah selesai dijalankan dengan data sesungguhnya maka hasil yang diperoleh diinterprestasi. Interprestasi meliputi analisis hasil run dan membandingkan dengan prinsip dasar dan hasil-hasil empirik untuk menaksir kualitas solusi numerik dan keputusan untuk menjalankan kembali program dengan untuk memperoleh hasil yang lebih baik.

            Beberapa alasan menggunakan metode numeris:

Ø  Metode numerik merupakan alat bantu pemecahan masalah matematika yang sangat baik. Metode numerik mampu menangani sistem persamaan besar, kenirlanjaran, dan geometri yang rumit yang dalam praktek rekayasa seringkali tidak mungkin dipecahkan secara analitik.

Ø  Di pasaran banyak tersedia program aplikasi numerik komersial. Penggunaan aplikasi tersebut menjadi lebih berarti bila kita memiliki pengetahuan metode numerik agar dapat memahami cara paket tersebut menyelesaikan persoalan.

Ø  Dapat membuat sendiri program komputer tanpa harus membeli paket programnya. Seringkali beberapa persoalan matematika yang tidak selalu dapat diselesaikan oleh program aplikasi.

Ø  Metode numerik menyediakan sarana untuk memperkuat kembali pemahaman matematika.

DAFTAR PUSTAKA

1.     Sediawan,B.W.,Prasetya,A.(1997).Pemodelan Matematis dan Penyelesaian Numeris dalam Teknik Kimia.Yogyakarta:ANDI.

2.     Djojodihardjo,H.(2000).Metode Numerik.Jakarta:Gramedia Pustaka Utama.

3.     Salusu,A.(2008).Metode Numerik dilengkapi dengan Analisi Matematika dan Panduan Singkat Mapel.Yogyakarta:Graha Ilmu.

4.     Chapra,C.S.,Canale,P.R.(1994).Metode Numerik.Jakarta:Erlangga.

5.     Novtani.(2012).Metode Numerik.Diakses 09 oktober 2015 20:00 WIB dari https://novtani.wordpress.com/2012/06/06/metode-numerik/.

6.     Munir.(2011).Metode Numerik.Diakses 09 oktober 2015 20:10 WIB dari http://informatika.stei.itb.ac.id/~rinaldi.munir/Buku/Metode%20Numerik/BAb%2001%20Metode%20Numerik%20Secara%20Umum.pdf